浙江省温州市*阳二中2015-2016学年高二数学下学期第一次质检试卷(含解析)

发布时间:2021-10-17 07:04:15

2015-2016 学年浙江省温州市*阳二中高二(下)第一次质检数学试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1. (5 分) (2012 秋?顺德区期末)若 =(2x,1,3) , =(1,﹣2y,9) ,如果 与 为共线 向量,则( )

A.x=1,y=1B.x= ,y=﹣ C.x= ,y=﹣ D.x=﹣ ,y= 2. (5 分) (2001?上海) 如图, 在*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是( ) = ,

A.﹣

+

+ B.

C.

D.﹣



+

3. (5 分) (2015 春?拉萨校级期中)设 A. B. C. D.

,则 f′(2)=(



4. (5 分) (2015?北京)设 , 是非零向量,“

=| || |”是“

”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) (2016 春?温州校级月考)对于实数 a、b、c 有如下命题①若 a>b 则 ac>bc;② 若 ac >bc 则 a>b;③若 a<b<0 则 a >ab>b ;④若 a>b, > 则 a>0,b<0.其中 正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6. (5 分) (2015 秋?怀宁县校级期末)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如 图所示,则导函数 y=f′(x)可能为( )
2 2 2 2

定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

A.

B.

C.
3

D.
2

7. (5 分) (2012?靖宇县校级模拟)若函数 f(x)= x + f′(1)x ﹣f′(2)x+3,则 f (x)在点(0,f(0) )处切线的倾斜角为( ) A. B. C. D. π 8. (5 分) (2013?越秀区校级模拟)已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,﹣3,7) , C(0,5,1) ,则 BC 边上的中线长为( ) A.2B.3C.4D.5 3 9. (5 分) (2011?沈阳校级模拟)若函数 f(x)=x ﹣12x 在区间(k﹣1,k+1)上不是单调 函数,则实数 k 的取值范围( ) A.k≤﹣3 或﹣1≤k≤1 或 k≥3B.﹣3<k<﹣1 或 1<k<3 C.﹣2<k<2D.不存在这样的实数 k 2 10. (5 分) (2007?江苏)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导数为 f′(x) ,f′(0)>0, 对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,则 A.3B. C.2D. 的最小值为( )

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. ) 2 11. (4 分) (2016 春?温州校级月考)命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实数根.”的逆 否命题是 . 12. (4 分) (2016 春?温州校级月考)若 =(x,2,0) , =(3,2﹣x,x ) ,且 与 的夹 角为钝角,则 x 的取值范围是
3 2



13. (4 分) (2011?贵州模拟)曲线 y= x +x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形 面积为 . 14. (4 分) (2012?庐阳区校级模拟)函数 y=x+2cosx 在区间 上的最大值 是 . 15. (4 分) (2015 秋?张家口期末)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,B1C 和 C1D 与底面 A1B1C1D1 所 成的角分别为 60°和 45°,则异面直线 B1C 和 C1D 所成的角的余弦值为 .

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

16. (4 分) (2013 秋?万州区校级期中)已知函数 f(x)=x ﹣3ax +3x+1 在区间(2,3)中 至少有一个极值点,则 a 的取值范围为 . 三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分. ) 17. (10 分) (2015?绵阳模拟)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 是菱形,PA⊥底面 ABCD,∠ABC=60°,PA=AB,E,F 分别为 BC,PC 的中点. (Ⅰ)求证:AE⊥PD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值.

3

2

18. (12 分) (2014?七里河区校级三模)已知函数 f(x)=x ﹣ x +bx+c. (1)若 f(x)在(﹣∞,+∞)是增函数,求 b 的取值范围; 2 (2)若 f(x)在 x=1 时取得极值,且 x∈[﹣1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范 围. 19. (12 分) (2016?安徽校级一模)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, 侧棱 SA 丄底面 ABCD,AB 垂直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥*面 SCD; (2)求*面 SCD 与*面 SAB 所成的二面角的余弦值; (3)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与*面 SAB 所成的角为 θ ,求 sinθ 的最大值.

3

2

20. (12 分) (2012?茂名一模)已知函数 . (a∈R) (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年浙江省温州市*阳二中高二(下)第一次质检数学试卷 参考答案与试题解析

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1. (5 分) (2012 秋?顺德区期末)若 =(2x,1,3) , =(1,﹣2y,9) ,如果 与 为共线 向量,则( )

A.x=1,y=1B.x= ,y=﹣ C.x= ,y=﹣ D.x=﹣ ,y= 【分析】利用共线向量的条件 【解答】解:∵ ,推出比例关系求出 x,y 的值.

=(2x,1,3)与 =(1,﹣2y,9)共线,

故有

=

= .

∴x= ,y=﹣ . 故选 C. 【点评】本题考查共线向量的知识,考查学生计算能力,是基础题.

2. (5 分) (2001?上海) 如图, 在*行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 = , = .则下列向量中与 相等的向量是( )

= ,

A.﹣

+

+ B.

C.

D.﹣



+

【分析】由题意可得 【解答】解:由题意可得 = + ( ﹣ )=﹣ +

= =

+

= + =

+ +

= + =

[ ﹣ ],化简得到结果. + = + ( ﹣ )

+ ,

故选 A. 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,属于基础题.

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

3. (5 分) (2015 春?拉萨校级期中)设 A. B. C. D.

,则 f′(2)=(



【分析】令 u(x)= (2) . 【解答】解:∵f(x)=ln

,可求得 u′(x)=

,从而可求得 f′(x) ,可求得 f′

,令 u(x)=

,则 f(u)=lnu,

∵f′(u)= ,u′(x)= ? 由复合函数的导数公式得:

=



f′(x)=

?

=



∴f′(2)= . 故选 B. 【点评】本题考查复合函数的导数,掌握复合函数的导数求导法则是关键,属于中档题.

4. (5 分) (2015?北京)设 , 是非零向量,“ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由 夹角为 0,从而得不到 选项. 【解答】解: (1) ∴ ∴ ∴ ∥ ; ∴“ (2) ∥ 时, ∴ ”是“ ∥ ”的充分条件; 的夹角为 0 或 π ; ,或﹣ ; 时,cos ; =1; ; 便可得到

=| || |”是“

”的(



夹角为 0,从而得到 ∥ ,而 ∥ 并不能得到 ,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

即 ∥ 得不到 ∴“ ∴总上可得“

; ”不是“ ∥ ”的必要条件; ”是“ ∥ ”的充分不必要条件.

故选 A. 【点评】考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量 积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义. 5. (5 分) (2016 春?温州校级月考)对于实数 a、b、c 有如下命题①若 a>b 则 ac>bc;② 若 ac >bc 则 a>b;③若 a<b<0 则 a >ab>b ;④若 a>b, > 则 a>0,b<0.其中 正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】①若 a>b,当 c≤0 时,ac>bc 不成立; 2 2 2 ②若 ac >bc ,则 c >0,可得 a>b; 2 2 ③若 a<b<0,由不等式的性质:a >ab,ab>b ;
2 2 2 2

④由于 > ,可得

>0,又 a>b,可得 ab<0,即可得出.

【解答】解:①若 a>b,当 c≤0 时,ac>bc 不成立; 2 2 ②若 ac >bc ,则 a>b,正确; 2 2 2 2 ③若 a<b<0,由不等式的性质:a >ab,ab>b ,可得 a >ab>b ;

④∵ > ,∴

>0,又 a>b,∴ab<0 因此 a>0,b<0.

其中正确的有②③④. 故选:C. 【点评】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 6. (5 分) (2015 秋?怀宁县校级期末)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如 图所示,则导函数 y=f′(x)可能为( )

A.

B.

C.

D.

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

【分析】先从 f(x)的图象判断出 f(x)的单调性,根据函数的单调性与导函数的符号的 关系判断出导函数的符号,判断出导函数的图象 【解答】解:由 f(x)的图象判断出 f(x)在区间(﹣∞,0)上递增;在(0,+∞)上先增再减再增 ∴在区间(﹣∞,0)上 f′(x)>0,在(0,+∞)上先有 f′(x)>0 再有 f′(x)<0 再有 f′(x)>0 故选 D. 【点评】 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系, 即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减,属于基础题

7. (5 分) (2012?靖宇县校级模拟)若函数 f(x)= x + f′(1)x ﹣f′(2)x+3,则 f (x)在点(0,f(0) )处切线的倾斜角为( ) A. B. C. D. π 【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在点(0,f(0) )处的切线的斜率值即为其点的 导函数值,再根据 k=tanα ,结合正切函数的图象求出倾斜角 α 的值. 2 【解答】解析:由题意得:f′(x)=x +f′(1)x﹣f′(2) , 令 x=0,得 f′(0)=﹣f′(2) , 令 x=1,得 f′(1)=1+f′(1)﹣f′(2) , ∴f′(2)=1,∴f′(0)=﹣1, 即 f(x)在点(0,f(0) )处切线的斜率为﹣1, ∴倾斜角为 π . 故选 D. 【点评】 本题考查了导数的几何意义, 以及利用正切函数的图象、 直线的倾斜角等基础知识, 属于基础题. 8. (5 分) (2013?越秀区校级模拟)已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,﹣3,7) , C(0,5,1) ,则 BC 边上的中线长为( ) A.2B.3C.4D.5 【分析】由已知中△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,﹣3,7) ,C(0,5,1) ,利用 中点公式,求出 BC 边上中点 D 的坐标,代入空间两点间距公式,即可得到答案. 【解答】解:∵B(4,﹣3,7) ,C(0,5,1) , 则 BC 的中点 D 的坐标为(2,1,4) 则 AD 即为△ABC 中 BC 边上的中线 ∵|AD|= =3

3

2

故选 B 【点评】本题考查的知识点是空间中两点之间的距离,其中根据已知条件求出 BC 边上中点 的坐标,是解答本题的关键. 9. (5 分) (2011?沈阳校级模拟)若函数 f(x)=x ﹣12x 在区间(k﹣1,k+1)上不是单调 函数,则实数 k 的取值范围( )
3

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

A.k≤﹣3 或﹣1≤k≤1 或 k≥3B.﹣3<k<﹣1 或 1<k<3 C.﹣2<k<2D.不存在这样的实数 k 【分析】由题意得,区间(k﹣1,k+1)内必须含有函数的导数的根 2 或﹣2,即 k﹣1<2< k+1 或 k﹣1<﹣2<k+1,从而求出实数 k 的取值范围. 2 【解答】解:由题意得,f′(x)=3x ﹣12 在区间(k﹣1,k+1)上至少有一个实数根, 2 而 f′(x)=3x ﹣12 的根为±2,区间(k﹣1,k+1)的长度为 2, 故区间(k﹣1,k+1)内必须含有 2 或﹣2. ∴k﹣1<2<k+1 或 k﹣1<﹣2<k+1, ∴1<k<3 或﹣3<k<﹣1, 故选 B. 【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系,函数在区间上不是单调函数,则函数的导数 在区间上有实数根. 10. (5 分) (2007?江苏)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的导数为 f′(x) ,f′(0)>0, 对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,则 的最小值为( )
2

A.3B. C.2D. 【分析】先求导,由 f′(0)>0 可得 b>0,因为对于任意实数 x 都有 f(x)≥0,所以结 合二次函数的图象可得 a>0 且 b ﹣4ac≤0,又因为 不等式即可求解. 【解答】解:∵f'(x)=2ax+b, ∴f'(0)=b>0; ∵对于任意实数 x 都有 f(x)≥0, 2 ∴a>0 且 b ﹣4ac≤0, 2 ∴b ≤4ac, ∴c>0;
2

,利用均值

∴ , 当 a=c 时取等号. 故选 C. 【点评】本题考查了求导公式,二次函数恒成立问题以及均值不等式,综合性较强. 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. ) 2 11. (4 分) (2016 春?温州校级月考)命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实数根.”的逆 否命题是 真命题 . 【分析】根据逆否命题与原命题的等价性,只需判断原命题的真假即可. 2 【解答】解:要使方程 x +x﹣m=0 有实数根, 则判别式△=1+4m≥0, 即 m≥﹣ , ∴当 m>0 时,△=1>0, 即原命题为真命题,

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

∴原命题的逆否命题也为真命题. 故答案为:真命题. 【点评】本题主要考查逆否命题与原命题为等价命题的知识,比较基础.

12. (4 分) (2016 春?温州校级月考)若 =(x,2,0) , =(3,2﹣x,x ) ,且 与 的夹 角为钝角,则 x 的取值范围是 (﹣∞,﹣4) . 【分析】运用数量积公式求出向量 a,b 的数量积,再求向量 a,b 共线的情况,由于 与 的 夹角为钝角,则 <0,解不等式即可得到范围.
2

2

【解答】解:若 =(x,2,0) , =(3,2﹣x,x ) , 则 =3x+2(2﹣x)+0=4+x, ,即有 3=λ x,2﹣x=2λ ,x =0,
2

若 ∥ ,则

x 无解,则 , 不共线. 由于 与 的夹角为钝角, 则 <0,

即为 4+x<0,解得,x<﹣4. 故答案为: (﹣∞,﹣4) . 【点评】 本题考查*面向量的数量积的运用, 考查向量的夹角为钝角的条件, 考查运算能力, 属于基础题和易错题.

13. (4 分) (2011?贵州模拟)曲线 y= x +x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形 面积为 . 【分析】 先对函数进行求导, 求出在 x=1 处的导数值即为切线的斜率值, 从而写出切线方程, 然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积. 【解答】解:∵y= x +x,∴y'=x +1∴f'(1)=2 在点(1, )处的切线为:y=2x﹣ 与坐标轴的交点为: (0, ) , ( ,0) S= ,
3 2

3

故答案为: . 【点评】 本题主要考查导数的几何意义, 即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率. 属 基础题.

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

14. (4 分) (2012?庐阳区校级模拟)函数 y=x+2cosx 在区间 . 【分析】对函数 y=x+2cosx 进行求导,研究函数在区间 是最大值. 【解答】解:∵y=x+2cosx,∴y′=1﹣2sinx 令 y′=0 而 x∈ 当 x∈[0, 当 x∈[ 所以当 x= , 则 x= ,

上的最大值是

上的极值,本题极大值就

]时,y′>0. ]时,y′<0. 时取极大值,也是最大值;

故答案为 【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题,属于导数的基础题. 15. (4 分) (2015 秋?张家口期末)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,B1C 和 C1D 与底面 A1B1C1D1 所 成的角分别为 60°和 45°,则异面直线 B1C 和 C1D 所成的角的余弦值为 .

【分析】 设 B1B=a, B1C 和 C1D 与底面 A1B1C1D1 所成的角分别为 60°和 45°推知 BC=a, DC= 推知表示出长方体从一个顶点出发的三条棱的长度推知面对角线的长度,再用余弦定理求 解. 【解答】解:设 B1B=a, ∵B1C 和 C1D 与底面 A1B1C1D1 所成的角分别为 60°和 45° ∴BC=a,DC= ∴

由余弦定理得:cos 故答案为:

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【点评】本题主要考查异面直线所角的基本求法,若所成的角在直角三角形中,则用三角函 数的定义,若在一般三角形中则用余弦定理. 16. (4 分) (2013 秋?万州区校级期中)已知函数 f(x)=x ﹣3ax +3x+1 在区间(2,3)中 至少有一个极值点,则 a 的取值范围为 ( , ) . 【分析】f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,等价于方程 f′(x)=0 在其判别式 △>0(即 a>1 或 a<﹣1)的条件下在区间(2,3)有解. 2 【解答】解:∵f′(x)=3x ﹣6ax+3,而 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点, 2 等价于方程 3x ﹣6ax+3=0 在其判别式△>0(即 a>1 或 a<﹣1)的条件下在区间(2,3) 有解. ∴由 3x ﹣6ax+3=0 可得 a= (x+ ) ,
2 3 2

令 g(x)= (x+ ) ,求导函数可得 g′(x)= (1﹣ ∴g(x)在(2,3)上单调递增, ∴ < (x+ )< , ∴ <a< ,此时满足△>0, 故 a 的取值范围是 <a< .



故答案为: ( , ) . 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,解 题的关键是 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点转化为方程 f′(x)=0 在其判别式 △>0(即 a>1 或 a<﹣1)的条件下在区间(2,3)有解. 三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分. ) 17. (10 分) (2015?绵阳模拟)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 是菱形,PA⊥底面 ABCD,∠ABC=60°,PA=AB,E,F 分别为 BC,PC 的中点. (Ⅰ)求证:AE⊥PD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值.

【分析】 (Ⅰ)通过 PA⊥*面 ABCD 得 AE⊥PA,根据题意易得△ABC 为等边三角形,利用线 面垂直的判定定理可得 AE⊥*面 PAD,进而有 AE⊥PD;

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

(Ⅱ)以 A 为坐标原点,以 AE、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立坐标系,则所求值转化 为*面 EAF 的法向量与*面 ACF 的法向量的夹角的余弦值的绝对值. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵PA⊥*面 ABCD,AE? *面 ABCD,∴AE⊥PA, ∵四边形 ABCD 是菱形,且∠ABC=60°,∴△ABC 为等边三角形, 又∵E 是 BD 中点,∴AE⊥BC, 由 BC∥AD 可知 AE⊥AD, 又∵PA∩AE=A,∴AE⊥*面 PAD, 又∵PD? *面 PAD,∴AE⊥PD; (Ⅱ)解:由(I)知 AE、AD、AP 两两垂直, 以 A 为坐标原点,以 AE、AD、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立坐标系如图, 设 PA=AB=2,则 A(0,0,0) ,E( ∴ =( ,0,0) , =( ,0,0) ,C( =( ,1,0) ,F( , ,1) , , ,1) ,

,1,0) ,

设*面 EAF 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,



,即



令 z1=1,可得 =(0,﹣2,1) , 设*面 ACF 的法向量为 =(x2,y2,z2) ,

则 令 y2=

,即 ,可得 =(﹣1, ,0) ,



cos< , >=

=

=﹣ .



∴二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值为

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

【点评】 本题考查二面角, 空间中线面的位置关系, 向量数量积运算, 注意解题方法的积累, 建立坐标系是解决本题的关键,属于中档题.

18. (12 分) (2014?七里河区校级三模)已知函数 f(x)=x ﹣ x +bx+c. (1)若 f(x)在(﹣∞,+∞)是增函数,求 b 的取值范围; 2 (2)若 f(x)在 x=1 时取得极值,且 x∈[﹣1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范 围. 【分析】 (1)由已知中函数 f(x)=x ﹣ x +bx+c,我们可以求出函数的导函数,进而根据 f(x)在(﹣∞,+∞)是增函数,则 f′(x)≥0 恒成立,构造关于 b 的不等式,解不等 式即可得到答案. 2 (2)当 f(x)在 x=1 时取得极值时,则 x=1 是方程 3x ﹣x+b=0 的一个根,由韦达定理可以 2 求出方程 3x ﹣x+b=0 的另一个根,进而分析出区间[﹣1,2]的单调性,进而确定出函数 f (x)在区间[﹣1,2]的最大值,进而构造关于 c 的不等式,根据二次不等式恒成立问题, 即可得到答案. 2 【解答】解: (1)f′(x)=3x ﹣x+b,∵f(x)在(﹣∞,+∞)是增函数, ∴f′(x)≥0 恒成立,∴△=1﹣12b≤0,解得 b≥ . ,+∞].
3 2

3

2

∵x∈(﹣∞,+∞)时,只有 b= 时,f′( )=0,∴b 的取值范围为[ 2 (2)由题意,x=1 是方程 3x ﹣x+b=0 的一个根,设另一根为 x0,

则 ∴ 列表分析最值: x ﹣1 f'(x) f(x)

∴f′(x)=3x ﹣x﹣2,

2

(﹣1,﹣ ) ﹣ + 0

(﹣ ,1) 1 ﹣ 0 极小值

(1,2) 2 + +c 递增

+c 递增 极大值 +c 递减 2+c ∴当 x∈[﹣1,2]时,f(x)的最大值为 f(2)=2+c,

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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

∵对 x∈[﹣1,2]时,f(x)<c 恒成立,∴c >2+c,解得 c<﹣1 或 c>2, 故 c 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,函数在某点取 得极值的条件,利用导数研究函数的极值,是函数与导数问题比较综合的应用,其中(1) 的关键是构造关于 b 的不等式,而(2)的关键是问题转化为关于 c 的不等式恒成立问题. 19. (12 分) (2016?安徽校级一模)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, 侧棱 SA 丄底面 ABCD,AB 垂直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥*面 SCD; (2)求*面 SCD 与*面 SAB 所成的二面角的余弦值; (3)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与*面 SAB 所成的角为 θ ,求 sinθ 的最大值.

2

2

【分析】 (1)以点 A 为坐标原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 利用向量法能证明 AM∥*面 SCD. (2) 求出*面 SAB 的一个法向量和*面 SCD 的一个法向量, 由此利用向量法能求出*面 SCD 与*面 SAB 所成的二面角的余弦值. (3)设 N(x,2x﹣2,0) ,则 =(x,2x﹣3,﹣1) ,利用向量法能求出 sinθ 的得最大值.

【解答】证明: (1)∵在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA 丄底面 ABCD, AB 垂直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点, ∴以点 A 为坐标原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(2,2,0) ,D(1,0,0) ,S(0,0,2) ,M(0,1,1) , ∴ =(0,1,1) , =(1,0,﹣2) , =(﹣1,﹣2,0) ,

设*面 SCD 的一个法向量为 =(x,y,z) ,

则 ∵ =0,∴

,令 z=1,得 =(2,﹣1,1) , ,

∵AM?*面 SCD,∴AM∥*面 SCD. 解: (2)由题意*面 SAB 的一个法向量 =(1,0,0) , 设*面 SCD 与*面 SAB 所成的二面角为 α ,由题意 0 ,

则 cosα =

=

=


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定 否 去 会 前 替 朝 个 一 限 极 其 新 础 基 过 不 之 中 己 为 作 继 把 都 此 因 。 识 共 以 下 天 成 形 而 从 固 巩 序 ”秩 子 父 臣 、 “君 倚 释 诠 性 法 合 治 统 制 专 建 封 对 等 德 道 义 仁 扬 宣 所 它 是 重 看 王 帝 代 历 但 , 力 魅 久 恒 和 点 光 闪 的 理 真 有 自 想 思 家 儒

∴*面 SCD 与*面 SAB 所成的二面角的余弦值为 (3)设 N(x,2x﹣2,0) ,则



=(x,2x﹣3,﹣1) ,

∵*面 SAB 的一个法向量 =(1,0,0) ,MN 与*面 SAB 所成的角为 θ

∴sinθ =|cos<

>|=

=|

|

=

= 当

. ,即 x= 时,sinθ 取得最大值(sinθ )max= .

【点评】本题考查线面*行的证明,考查面面所成的二面角的求法,考查线面角的正弦值的 最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

20. (12 分) (2012?茂名一模)已知函数 . (a∈R) (1)当 a=1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1,e]上为增函数,所以 f (1)为最小值,f(e)为最大值,求出即可; (2)令 ,则 g(x)的定义域为(0,+∞) .证 g(x) <0 在区间(1,+∞)上恒成立即得证.求出 g′(x)分区间讨论函数的增减性得到函数的 极值,利用极值求出 a 的范围即可.

【解答】解(Ⅰ)当 a=1 时,





对于 x∈[1,e],有 f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.





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(Ⅱ)令 ,则 g(x)的定义域为(0,+∞) . 在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方等价于 g(x)<0 在区间(1, +∞)上恒成立.





①若

,令 g'(x)=0,得极值点 x1=1,



当 x2>x1=1,即 时,在(x2,+∞)上有 g'(x)>0. 此时 g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 g(x)∈(g(x2) ,+∞) , 不合题意; 当 x2<x1=1,即 a≥1 时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有 g(x)∈(g(1) ,+∞) , 也不合题意; ②若 ,则有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 g'(x)<0. 从而 g(x)在区间(1,+∞)上是减函数 要使 g(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足 .

由此求得 a 的范围是[

, ].

综合①②可知,当 a∈[ , ]时,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方. 【点评】 考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力. 以及综合运用函数解决数学问 题的能力.

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